Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
então
.
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas sequências numéricas,
e
. A afirmação que temos que analisar é: “Se
converge para
e todo termo
é maior que 0, então o limite
também é maior que 0.” Vamos precisar entender o conceito de limite de sequência e analisar se essa afirmação sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
cresce, os termos da sequência
se aproximam cada vez mais do valor
. Ou seja, para qualquer número pequeno
, existe um número
tal que para todo
, a diferença
é menor que
.
Passo 3
Agora, a condição
para todo
nos diz que todos os termos da sequência são positivos. A questão é saber se isso garante que o limite
também seja positivo. Intuitivamente, a gente poderia pensar que se todos os
são maiores que zero e estão se aproximando de
, então
também deveria ser maior que zero.
Passo 4
Mas vamos testar essa ideia com um exemplo. Considere a sequência
. Aqui, cada termo
é positivo porque
é um número natural maior que zero. Vamos ver para onde essa sequência converge:
Então, apesar de todos os
serem maiores que zero, o limite
é igual a zero, que não é maior que zero.
Passo 5
Esse exemplo mostra que é possível ter uma sequência onde todos os termos são positivos e convergem para um limite que não é positivo. Portanto, a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa, pois podemos ter sequências onde todos os termos são positivos, mas o limite é zero.
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Mostre que:
;
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então ou
ou
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
onde
Mostre que:
;