Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se e então .

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas sequências numéricas, e . A afirmação que temos que analisar é: “Se converge para e todo termo é maior que 0, então o limite também é maior que 0.” Vamos precisar entender o conceito de limite de sequência e analisar se essa afirmação sempre é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, à medida que cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais do valor . Ou seja, para qualquer número pequeno , existe um número tal que para todo , a diferença é menor que .

Passo 3

Agora, a condição para todo nos diz que todos os termos da sequência são positivos. A questão é saber se isso garante que o limite também seja positivo. Intuitivamente, a gente poderia pensar que se todos os são maiores que zero e estão se aproximando de , então também deveria ser maior que zero.

Passo 4

Mas vamos testar essa ideia com um exemplo. Considere a sequência . Aqui, cada termo é positivo porque é um número natural maior que zero. Vamos ver para onde essa sequência converge:
Então, apesar de todos os serem maiores que zero, o limite é igual a zero, que não é maior que zero.

Passo 5

Esse exemplo mostra que é possível ter uma sequência onde todos os termos são positivos e convergem para um limite que não é positivo. Portanto, a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa, pois podemos ter sequências onde todos os termos são positivos, mas o limite é zero.

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