Sejam (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N} sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se |a_n| -> |a| então an -> a.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências numéricas, e . A afirmação que precisamos avaliar é: “Se então .” Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades do valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, à medida que cresce, os valores de se aproximam cada vez mais de . Em termos de limites, isso é escrito como:

Passo 3

A próxima coisa a entender é o que significa . Isso indica que os termos da sequência estão se aproximando do valor quando aumenta. Em notação de limite:

Passo 4

Agora, vamos pensar se garante que . Ou seja, se os valores absolutos convergem, os valores em si também convergem para o mesmo número?

Passo 5

Para responder isso, vamos considerar um exemplo. Suponha que e definimos a sequência como:
Então, temos:
Portanto, . No entanto, a sequência oscila entre e , ou seja, não converge para , porque não se estabiliza em um único valor.

Passo 6

Esse exemplo mostra que mesmo se os valores absolutos de uma sequência convergirem para , a própria sequência pode não convergir para . Portanto, a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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