Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas sequências numéricas,
e
. A afirmação que precisamos avaliar é: “Se
então
.” Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades do valor absoluto para resolver isso.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
cresce, os valores de
se aproximam cada vez mais de
. Em termos de limites, isso é escrito como:
Passo 3
A próxima coisa a entender é o que significa
. Isso indica que os termos da sequência
estão se aproximando do valor
quando
aumenta. Em notação de limite:
Passo 4
Agora, vamos pensar se
garante que
. Ou seja, se os valores absolutos convergem, os valores em si também convergem para o mesmo número?
Passo 5
Para responder isso, vamos considerar um exemplo. Suponha que
e definimos a sequência
como:
Então, temos:
Portanto,
. No entanto, a sequência
oscila entre
e
, ou seja, não converge para
, porque não se estabiliza em um único valor.
Passo 6
Esse exemplo mostra que mesmo se os valores absolutos de uma sequência convergirem para
, a própria sequência pode não convergir para
. Portanto, a afirmação original é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.
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Mostre que:
;
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
onde
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
e
convergem.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.