Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = (1 - 1/2)(1 - 1/3) ... (1 - 1/n)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da sequência. Observe que:
Então, podemos reescrever a sequência como:

Passo 3

Agora, percebemos que muitos termos se cancelam quando multiplicamos:
Todos os numeradores e denominadores se cancelam exceto o primeiro numerador (1) e o último denominador (n).

Passo 4

Então, nossa sequência simplificada é:

Passo 5

Para determinar a convergência, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Sabemos que, conforme aumenta, se aproxima de 0.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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