Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo da sequência. Observe que:
Então, podemos reescrever a sequência
como:
Passo 3
Agora, percebemos que muitos termos se cancelam quando multiplicamos:
Todos os numeradores e denominadores se cancelam exceto o primeiro numerador (1) e o último denominador (n).
Passo 4
Então, nossa sequência simplificada é:
Passo 5
Para determinar a convergência, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Passo 6
Sabemos que, conforme
aumenta,
se aproxima de 0.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.