Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
e
convergem.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências numéricas,
e
, e sabemos que o produto delas,
, converge para um número
. A pergunta é: se o produto das duas sequências converge, isso garante que cada uma das sequências
e
também converge? Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades da convergência de produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se duas sequências
e
convergem, então o produto delas também converge e o limite do produto é o produto dos limites individuais. Em termos matemáticos, se
e
, então
.
Passo 3
No entanto, o que a questão está perguntando é o contrário: se o produto das sequências converge, isso implica que cada sequência individualmente converge? Para responder isso, precisamos analisar se é possível que
converja mesmo que uma ou ambas as sequências
ou
não converjam.
Passo 4
Vamos considerar um contraexemplo. Suponha que
, que claramente converge para 0. E seja
uma sequência que oscila, por exemplo,
. O produto dessas sequências é
, que converge para 0, já que
tende a 0. No entanto, a sequência
, que é
, não converge, pois continua alternando entre 1 e -1.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que
converja, as sequências
e
individuais podem não convergir.
Exercícios relacionados
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.
Mostre que:
;
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Mostre que:
.