Sejam (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N} sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se an * bn -> d então (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N} convergem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências numéricas, a_n e b_n, e sabemos que o produto delas, , converge para um número d. A pergunta é: se o produto das duas sequências converge, isso garante que cada uma das sequências a_n e b_n também converge? Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades da convergência de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se duas sequências a_n e b_n convergem, então o produto delas também converge e o limite do produto é o produto dos limites individuais. Em termos matemáticos, se e , então .

Passo 3

No entanto, o que a questão está perguntando é o contrário: se o produto das sequências converge, isso implica que cada sequência individualmente converge? Para responder isso, precisamos analisar se é possível que converja mesmo que uma ou ambas as sequências a_n ou b_n não converjam.

Passo 4

Vamos considerar um contraexemplo. Suponha que , que claramente converge para 0. E seja b_n uma sequência que oscila, por exemplo, . O produto dessas sequências é , que converge para 0, já que 1/n tende a 0. No entanto, a sequência b_n, que é , não converge, pois continua alternando entre 1 e -1.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que converja, as sequências a_n e b_n individuais podem não convergir.

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