Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 2^n(nn+1)^n^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar o Critério da Raiz para verificar se a série infinita
sumn=1^infty 2^n(nn+1)^n^2
converge ou diverge.
O Critério da Raiz é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência observando o limite da raiz enésima dos termos gerais da série. Para aplicá-lo, precisamos calcular:
L = limn to infty raiz[n]|an|
onde é o termo geral da série. Dependendo do valor de , podemos concluir:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos então aplicar esse critério à nossa série.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = 2^n(nn+1)^n^2
Aplicamos o Critério da Raiz, calculando a raiz enésima de raiz[n]|an| = raiz[n]2^n(nn+1)^n^2 :
raiz[n]2^n cdot raiz[n](nn+1)^n^2
Podemos simplificar essa expressão separando os fatores:
Calculamos cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte:
raiz[n]2^n = 2^n/n = 2
Agora, a segunda parte:
raiz[n](nn+1)^n^2 = (nn+1)^n^2/n = (nn+1)^n
Então, a expressão completa fica:
2 cdot (nn+1)^n

Passo 4

Precisamos calcular o limite dessa expressão quando L = limn to infty 2 cdot (nn+1)^n tende ao infinito:
nn+1 = 1 - 1n+1
Vamos primeiro analisar o comportamento de (1 - 1n+1)^n quando limn to infty (1 - 1n)^n = 1e aumenta. Podemos reescrever a fração:
limn to infty (1 - 1n+1)^n = 1e
Então,
Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Aplicando esse resultado ao nosso limite L = 2 cdot 1e = 2e :
2e approx 22,718 approx 0,735
Sabemos que , então:

Resposta

Como sumn=1^infty 2^n(nn+1)^n^2 , pelo Critério da Raiz, a série
converge absolutamente.

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