Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar o Critério da Raiz para verificar se a série infinita
converge ou diverge.
O Critério da Raiz é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência observando o limite da raiz enésima dos termos gerais da série. Para aplicá-lo, precisamos calcular:
onde
é o termo geral da série. Dependendo do valor de
, podemos concluir:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos então aplicar esse critério à nossa série.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Aplicamos o Critério da Raiz, calculando a raiz enésima de
:
Podemos simplificar essa expressão separando os fatores:
Calculamos cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira parte:
Agora, a segunda parte:
Então, a expressão completa fica:
Passo 4
Precisamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Vamos primeiro analisar o comportamento de
quando
aumenta. Podemos reescrever a fração:
Então,
Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Aplicando esse resultado ao nosso limite
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Como
, pelo Critério da Raiz, a série
converge absolutamente.
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