Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
sumk=1^infty k 2^k3^k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumk=1^infty k 2^k3^k é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries que envolvem termos com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de forma mais simples para facilitar a análise:
sumk=1^infty k 2^k3^k = sumk=1^infty k (23)^k
Aqui, percebemos que a série é uma soma infinita onde cada termo é k multiplicado por (23)^k.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série sum ak, calculamos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para a nossa série:
ak = k (23)^k
Então,
ak+1ak = (k+1) (23)^k+1k (23)^k = (k+1) cdot 23k = 2(k+1)3k

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty 2(k+1)3k = limk to infty 2k + 23k = limk to infty 2 + 2k3 = 23

Passo 6

Como L = 23 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty k 2^k3^k é absolutamente convergente.

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