Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries que envolvem termos com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de forma mais simples para facilitar a análise:
Aqui, percebemos que a série é uma soma infinita onde cada termo é multiplicado por .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para a nossa série:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
(cissoid of Diocles)
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Decida se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.