Decida se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
1-1 cdot 33!+1 cdot 3 cdot 55!-1 cdot 3 cdot 5 cdot 77!+cdots+(-1)^n-1 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)(2 n-1)!+cdots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A gente precisa descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de séries, como o teste da série alternada e o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos alternam sinais positivos e negativos, como está na nossa série. Para verificar a convergência condicional, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se o limite dos termos tende a zero e os termos são decrescentes, então a série alternada converge.

Passo 3

Vamos definir . Precisamos verificar se . Observando o numerador, temos o produto dos primeiros números ímpares, enquanto o denominador é o fatorial de .

Passo 4

Para simplificar, vamos expressar o numerador usando a função fatorial dupla: bn = (2n)!2^n n!(2n-1)! = 2n2^n n! . Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de limn to infty bn = limn to infty 2n2^n n! :
limn to infty 2n2^n n! = 0
Sabemos que cresce muito mais rápido que , então o limite tende a zero:

Passo 6

Como e os termos são positivos e decrescentes, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge.

Passo 7

Agora, para verificar se a série converge absolutamente, vamos analisar a série dos módulos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-1)! | = sumn=1^infty 2n2^n n!

Passo 8

Vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos módulos:
limn to infty an+1an = limn to infty 2(n+1)2^n+1 (n+1)! cdot 2^n n!2n = limn to infty 2(n+1)2(n+1) = 11 = 1
Como o limite é igual a 1, o Teste da Razão é inconclusivo para essa série.

Passo 9

Vamos então considerar que, mesmo com o Teste da Razão inconclusivo, o crescimento do denominador é exponencialmente maior que o numerador , o que sugere que a série dos módulos converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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