Decida se a série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A gente precisa descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de séries, como o teste da série alternada e o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos alternam sinais positivos e negativos, como está na nossa série. Para verificar a convergência condicional, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se o limite dos termos tende a zero e os termos são decrescentes, então a série alternada converge.
Passo 3
Vamos definir . Precisamos verificar se . Observando o numerador, temos o produto dos primeiros números ímpares, enquanto o denominador é o fatorial de .
Passo 4
Para simplificar, vamos expressar o numerador usando a função fatorial dupla: . Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de :
Sabemos que cresce muito mais rápido que , então o limite tende a zero:
Passo 6
Como e os termos são positivos e decrescentes, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge.
Passo 7
Agora, para verificar se a série converge absolutamente, vamos analisar a série dos módulos:
Passo 8
Vamos aplicar o Teste da Razão para a série dos módulos:
Como o limite é igual a 1, o Teste da Razão é inconclusivo para essa série.
Passo 9
Vamos então considerar que, mesmo com o Teste da Razão inconclusivo, o crescimento do denominador é exponencialmente maior que o numerador , o que sugere que a série dos módulos converge. Portanto, a série original converge absolutamente.