Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A matéria envolvida aqui é a convergência de séries infinitas, e para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o teste da razão ou o teste da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada tipo de convergência:
- Convergente Absolutamente: Se a série dos valores absolutos converge.
- Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não.
- Divergente: Se a série não converge.
Para determinar isso, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatores exponenciais e fatoriais na expressão.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do termo geral
quando
tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Nosso termo geral é
. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando
tende ao infinito:
Observamos que
. Então, o limite se torna:
Passo 6
Vamos analisar esse limite. O numerador cresce exponencialmente como
, enquanto o denominador cresce linearmente como
. Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Portanto:
Passo 7
Como o limite do quociente é maior que 1 (na verdade, tende ao infinito), pelo Teste da Razão, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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