Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
sumn=1^infty 2^n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a série sumn=1^infty 2^n^2n! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A matéria envolvida aqui é a convergência de séries infinitas, e para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o teste da razão ou o teste da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série dos valores absolutos converge.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não.
  • Divergente: Se a série não converge.
Para determinar isso, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatores exponenciais e fatoriais na expressão.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do termo geral an+1an quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, diverge. Se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Nosso termo geral é an = 2^n^2n!. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
limn to infty 2^2n +1n+1
Observamos que 2^2n +1 = 2 cdot (2^2)^n = 2 cdot 4^n. Então, o limite se torna:
limn to infty 2 cdot 4^nn+1

Passo 6

Vamos analisar esse limite. O numerador cresce exponencialmente como 4^n, enquanto o denominador cresce linearmente como n+1. Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Portanto:
limn to infty 2 cdot 4^nn+1 = infty

Passo 7

Como o limite do quociente é maior que 1 (na verdade, tende ao infinito), pelo Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^n^2n! é divergente.

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