Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é diferenciável. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e condições de diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e mostrar que elas são contínuas.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como uma constante:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e como
, a derivada em relação a
é simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Para que a função
seja diferenciável, as derivadas parciais
e
devem ser contínuas em todo o domínio da função. Observando as expressões das derivadas, vemos que:
Ambas são funções exponenciais multiplicadas por polinômios, que são contínuas em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o
.