Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é diferenciável. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e condições de diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e mostrar que elas são contínuas.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
é obtida tratando
como uma constante:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e como
, a derivada em relação a
é simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Para que a função
seja diferenciável, as derivadas parciais
e
devem ser contínuas em todo o domínio da função. Observando as expressões das derivadas, vemos que:
Ambas são funções exponenciais multiplicadas por polinômios, que são contínuas em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o
.
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Find
by implicit differentiation.
Find
by implicit differentiation.
Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
(cissoid of Diocles)
Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.