Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é diferenciável. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais e condições de diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e mostrar que elas são contínuas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a é obtida tratando como uma constante:
Isso porque a derivada de em relação a é , e como , a derivada em relação a é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Para que a função seja diferenciável, as derivadas parciais e devem ser contínuas em todo o domínio da função. Observando as expressões das derivadas, vemos que:
Ambas são funções exponenciais multiplicadas por polinômios, que são contínuas em todo .

Resposta

A função é diferenciável em todo o .

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(cissoid of Diocles)
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