Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point.
y^2(6 - x) = x^3, (2, raiz(2)) (cissoid of Diocles)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da cissoide de Diocles: , e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está isolada em .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente tem de um lado, precisamos usar a regra da cadeia porque também depende de .
Então, diferenciando o lado esquerdo:
Agora, diferenciando o lado direito:

Passo 3

Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar essa derivada:

Passo 4

Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores do ponto dado para encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Passo 5

Com o coeficiente angular e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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