Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point. (cissoid of Diocles)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da cissoide de Diocles: , e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está isolada em .
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente tem de um lado, precisamos usar a regra da cadeia porque também depende de .
Então, diferenciando o lado esquerdo:
Agora, diferenciando o lado direito:
Passo 3
Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar essa derivada:
Passo 4
Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores do ponto dado para encontrar o coeficiente angular da reta tangente:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Passo 5
Com o coeficiente angular e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , usamos a fórmula da reta tangente: