Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência para analisar a série em questão.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para determinar se uma série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatorial ou potências, como é o caso aqui.
O Teste da Razão diz o seguinte: se ,
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :
Agora, vamos formar a razão :

Passo 4

Simplificando a expressão:
Mas isso fica complicado para calcular diretamente. Então, vamos usar uma aproximação com a fórmula de Stirling para fatoriais, que nos ajuda a estimar fatoriais grandes.
A fórmula de Stirling é:
Aplicando isso tanto em quanto em , conseguimos uma estimativa melhor da razão.

Passo 5

Ao aplicar a fórmula de Stirling, percebemos que o termo cresce muito mais rápido do que . Isso faz com que a razão cresça sem limite à medida que aumenta.
Portanto, o limite da razão é infinito:

Resposta

Como o limite da razão é maior que 1, pela Regra do Teste da Razão, a série diverge.

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