Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
a_n = n * sen(1/n)

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O tema aqui é o estudo de sequências, especificamente determinar se elas convergem ou divergem e, se convergem, calcular o limite. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos limites e da função seno.

Passo 2

Primeiro, observamos que, quando tende ao infinito, tende a zero. Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Ou seja, quando é grande.

Passo 3

Substituindo essa aproximação na sequência, temos:

Passo 4

Agora, calculamos o limite formalmente:
Como , podemos reescrever:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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