Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
a_n = arctg(ln(n))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o limite. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de sequências e limites, usando funções como a logaritmo natural e a arctangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela tende a um valor específico à medida que cresce indefinidamente. Se não tende a nenhum valor específico, dizemos que ela é divergente.

Passo 3

Vamos analisar a função dentro da arctangente: . Sabemos que, conforme aumenta, também aumenta sem limites, ou seja, tende ao infinito quando tende ao infinito.

Passo 4

Agora, precisamos ver o que acontece com a arctangente quando seu argumento tende ao infinito. A função tem um limite conhecido:
Isso significa que, conforme fica muito grande, se aproxima de .

Passo 5

Aplicando isso à nossa sequência:
Portanto, a sequência converge para .

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

Exercícios relacionados