Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o limite. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de sequências e limites, usando funções como a logaritmo natural e a arctangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela tende a um valor específico à medida que
cresce indefinidamente. Se não tende a nenhum valor específico, dizemos que ela é divergente.
Passo 3
Vamos analisar a função dentro da arctangente:
. Sabemos que, conforme
aumenta,
também aumenta sem limites, ou seja,
tende ao infinito quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, precisamos ver o que acontece com a arctangente quando seu argumento tende ao infinito. A função tem um limite conhecido:
Isso significa que, conforme
fica muito grande, se aproxima de
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa sequência:
Portanto, a sequência
converge para
.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Prove que se a série
é absolutamente convergente, então ela é convergente.