Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente precisa decidir se a série
, onde
, é convergente ou divergente. Se der, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da série. Ela é uma série alternada porque o termo
faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. Além disso, os termos da série são
, que podem ser reescritos como
. Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge. Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos da série diminuem de forma monótona para zero, a série converge.
No nosso caso,
diminui à medida que
aumenta porque
(já que
). Além disso,
. Então, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 4
Como a série é uma série geométrica alternada e converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula da soma de uma série geométrica é:
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula:
Resposta
A série
, com
, converge e a soma dela é
.
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