Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente precisa decidir se a série , onde , é convergente ou divergente. Se der, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da série. Ela é uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. Além disso, os termos da série são , que podem ser reescritos como . Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos da série diminuem de forma monótona para zero, a série converge.
No nosso caso, diminui à medida que aumenta porque (já que ). Além disso, . Então, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 4

Como a série é uma série geométrica alternada e converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula da soma de uma série geométrica é:
No nosso caso, . Então, substituindo na fórmula:

Resposta

A série , com , converge e a soma dela é .

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