Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência utilizando técnicas de simplificação e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Portanto, o termo geral simplificado é:

Passo 3

Agora, reescrevemos a série com o termo simplificado:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.

Passo 4

Vamos calcular a soma parcial até o termo :
Observamos que a maior parte dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 5

Para determinar o comportamento da série, analisamos o limite da soma parcial quando tende ao infinito:
Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série não converge para um valor finito.

Resposta

A série é divergente.

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