Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty 1raizn+1+raizn

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência utilizando técnicas de simplificação e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
1raizn+1 + raizn
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
1raizn+1 + raizn times raizn+1 - raiznraizn+1 - raizn = raizn+1 - raizn(raizn+1)^2 - (raizn)^2 = raizn+1 - raiznn+1 - n = raizn+1 - raizn
Portanto, o termo geral simplificado é:
raizn+1 - raizn

Passo 3

Agora, reescrevemos a série com o termo simplificado:
sumn=0^infty (raizn+1 - raizn)
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.

Passo 4

Vamos calcular a soma parcial SN = (raiz1 - raiz0) + (raiz2 - raiz1) + (raiz3 - raiz2) + dots + (raizN+1 - raizN) até o termo SN = raizN+1 - raiz0 = raizN+1 :
Observamos que a maior parte dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 5

Para determinar o comportamento da série, analisamos o limite da soma parcial quando limN to infty SN = limN to infty raizN+1 = infty tende ao infinito:
Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série não converge para um valor finito.

Resposta

A série é divergente.

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