Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Vamos analisar a série
. Nosso objetivo é decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência utilizando técnicas de simplificação e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Portanto, o termo geral simplificado é:
Passo 3
Agora, reescrevemos a série com o termo simplificado:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.
Passo 4
Vamos calcular a soma parcial
até o termo
:
Observamos que a maior parte dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Passo 5
Para determinar o comportamento da série, analisamos o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série não converge para um valor finito.
Resposta
A série
é divergente.
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