Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos analisar a série . Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos utilizar o Teste da Série Alternada para determinar se ela é convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, observe que a série é alternada por causa do termo . O Teste da Série Alternada verifica dois pontos principais:
  1. Se os termos são decrescentes.
  2. Se o limite de quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar esses pontos um por um.

Passo 3

Começamos verificando se é decrescente. Simplificando :
À medida que aumenta, diminui, então também diminui. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
O limite é 1, que não é igual a zero.

Passo 5

Segundo o Teste da Série Alternada, para que a série seja convergente, o limite de deve ser zero. Como nesse caso o limite é 1, a série não atende a esse critério.

Resposta

A série é divergente.

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