Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos utilizar o Teste da Série Alternada para determinar se ela é convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, observe que a série é alternada por causa do termo
. O Teste da Série Alternada verifica dois pontos principais:
- Se os termos
são decrescentes. - Se o limite de
quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar esses pontos um por um.
Passo 3
Começamos verificando se
é decrescente. Simplificando
:
À medida que
aumenta,
diminui, então
também diminui. Portanto, os termos
são decrescentes.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
O limite é 1, que não é igual a zero.
Passo 5
Segundo o Teste da Série Alternada, para que a série seja convergente, o limite de
deve ser zero. Como nesse caso o limite é 1, a série não atende a esse critério.
Resposta
A série
é divergente.
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