Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos a série infinita
e precisamos descobrir se ela converge (ou seja, se ela soma para um número finito) ou diverge (não soma para nada). Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica muito grande. Quando
tende ao infinito,
se aproxima de zero.
Passo 3
Sabemos que para valores próximos a zero, a função tangente pode ser aproximada por
. Isso significa que quando
é pequeno,
é aproximadamente igual a
.
Passo 4
Então, para valores grandes de
, temos:
Isso nos sugere que os termos da nossa série se comportam de forma semelhante aos termos da série harmônica.
Passo 5
A série harmônica é dada por
e sabemos que ela diverge, ou seja, não soma para um número finito.
Passo 6
Agora, podemos usar o Teste da Comparação. Como os termos da nossa série são próximos dos termos da série harmônica e a série harmônica diverge, então a nossa série também deve divergir.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.