Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos a série infinita e precisamos descobrir se ela converge (ou seja, se ela soma para um número finito) ou diverge (não soma para nada). Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando fica muito grande. Quando tende ao infinito, se aproxima de zero.

Passo 3

Sabemos que para valores próximos a zero, a função tangente pode ser aproximada por . Isso significa que quando é pequeno, é aproximadamente igual a .

Passo 4

Então, para valores grandes de , temos:
Isso nos sugere que os termos da nossa série se comportam de forma semelhante aos termos da série harmônica.

Passo 5

A série harmônica é dada por e sabemos que ela diverge, ou seja, não soma para um número finito.

Passo 6

Agora, podemos usar o Teste da Comparação. Como os termos da nossa série são próximos dos termos da série harmônica e a série harmônica diverge, então a nossa série também deve divergir.

Resposta

A série diverge.

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