Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas aqui, que é um tema de Cálculo, especificamente em análise de séries. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série: . Sabemos que oscila entre -1 e 1, então seu valor absoluto é no máximo 1. Isso nos ajuda a simplificar a análise.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Comparação Absoluta. Esse teste nos diz que se para todo a partir de algum ponto, e converge, então também converge.

Passo 4

Vamos considerar . Observando que , já que .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se converge. Podemos reescrever como .

Passo 6

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 7

Como e converge, pelo Teste da Comparação Absoluta, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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