Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas aqui, que é um tema de Cálculo, especificamente em análise de séries. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série:
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1, então seu valor absoluto é no máximo 1. Isso nos ajuda a simplificar a análise.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Comparação Absoluta. Esse teste nos diz que se
para todo
a partir de algum ponto, e
converge, então
também converge.
Passo 4
Vamos considerar
. Observando que
, já que
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se
converge. Podemos reescrever
como
.
Passo 6
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 7
Como
e
converge, pelo Teste da Comparação Absoluta, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: