Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty x^n cos (n pi2),|x|<1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a série é convergente ou divergente. Além disso, se a série for convergente, devemos calcular sua soma. Para resolver isso, vamos precisar conhecer séries geométricas e entender como as funções trigonométricas se comportam dentro de uma série.

Passo 2

Vamos analisar os termos da série: . A função oscila dependendo do valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Isso significa que a série terá termos que são 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, etc., multiplicados por .

Passo 3

Podemos reescrever a série separando os termos que não são zero:
sumn=0^infty x^n cos (n pi2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + dots
Observamos que essa é uma série geométrica com razão .

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica converge se e sua soma é dada por . No nosso caso, e .
Como (conforme dado no exercício), temos , então a série converge.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
sumn=0^infty x^n cos (n pi2) = 11 - (-x^2) = 11 + x^2

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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