Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a série
é convergente ou divergente. Além disso, se a série for convergente, devemos calcular sua soma. Para resolver isso, vamos precisar conhecer séries geométricas e entender como as funções trigonométricas se comportam dentro de uma série.
Passo 2
Vamos analisar os termos da série:
. A função
oscila dependendo do valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Isso significa que a série terá termos que são 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, etc., multiplicados por
.
Passo 3
Podemos reescrever a série separando os termos que não são zero:
Observamos que essa é uma série geométrica com razão
.
Passo 4
Sabemos que uma série geométrica
converge se
e sua soma é dada por
. No nosso caso,
e
.
Como
(conforme dado no exercício), temos
, então a série converge.
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.
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