Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidirmos se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste da integral, que nos ajuda a determinar o comportamento da série analisando uma integral equivalente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico quando o número de termos aumenta ao infinito. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Para a série
, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se a função correspondente aos termos da série for positiva, contínua e decrescente para todo
a partir de certo ponto, então a série converge se e somente se a integral da função de 2 até o infinito for convergente.
Passo 4
Vamos considerar a função
. Essa função é positiva para
, contínua e decrescente para
(já que a derivada de
é negativa nesse intervalo). Então, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 5
Calculamos a integral imprópria:
Vamos resolver essa integral. Usando substituição, seja
, então
. A integral se transforma em:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada de 2 até o infinito:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito, então
tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.
Passo 7
Como a integral divergente indica que a série também diverge pelo Teste da Integral, concluímos que a série
é divergente.
Resposta
A série
diverge.
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