Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=2^infty ln (n)n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidirmos se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste da integral, que nos ajuda a determinar o comportamento da série analisando uma integral equivalente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico quando o número de termos aumenta ao infinito. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Passo 3

Para a série , vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se a função correspondente aos termos da série for positiva, contínua e decrescente para todo a partir de certo ponto, então a série converge se e somente se a integral da função de 2 até o infinito for convergente.

Passo 4

Vamos considerar a função . Essa função é positiva para , contínua e decrescente para (já que a derivada de é negativa nesse intervalo). Então, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 5

Calculamos a integral imprópria:
integral2^infty ln(x)x , dx
Vamos resolver essa integral. Usando substituição, seja integral u , du = u^22 + C = (ln(x))^22 + C , então . A integral se transforma em:

Passo 6

Agora, avaliamos o limite dessa antiderivada de 2 até o infinito:
limt to infty ( (ln(t))^22 - (ln(2))^22 )
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito, então tende ao infinito. Isso significa que a integral diverge.

Passo 7

Como a integral divergente indica que a série também diverge pelo Teste da Integral, concluímos que a série é divergente.

Resposta

A série diverge.

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