Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty 2+cos (n)n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos decidir se a série sumn=0^infty 2+cos (n)n é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas, que fazem parte do estudo de Cálculo, especificamente sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que temos 2+cos(n)n. Sabemos que cos(n) varia entre -1 e 1, então 2 + cos(n) varia entre 1 e 3. Portanto, os termos da série são sempre positivos e menores que 3n.

Passo 3

Um teste que podemos aplicar aqui é o Teste da Comparação. Vamos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 3n. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a conhecida série harmônica, que é divergente.

Passo 4

Como 2+cos(n)n <= 3n para todo n, e a série sumn=1^infty 3n é divergente, pelo Teste da Comparação, nossa série original também deve divergir.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o Teste do Termo Geral. Calculando o limite de 2+cos(n)n quando n tende ao infinito:
limn to infty 2+cos(n)n = 0
Embora o limite seja zero, isso não garante a convergência da série, apenas que ela pode convergir. Portanto, o teste do termo geral é inconclusivo aqui.

Passo 6

Por fim, considerando que pelo Teste da Comparação já estabelecemos que a série diverge, concluímos que:

Resposta

A série sumn=0^infty 2+cos (n)n é divergente.

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