Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos decidir se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas, que fazem parte do estudo de Cálculo, especificamente sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que temos . Sabemos que varia entre -1 e 1, então varia entre 1 e 3. Portanto, os termos da série são sempre positivos e menores que .

Passo 3

Um teste que podemos aplicar aqui é o Teste da Comparação. Vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série é a conhecida série harmônica, que é divergente.

Passo 4

Como para todo , e a série é divergente, pelo Teste da Comparação, nossa série original também deve divergir.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o Teste do Termo Geral. Calculando o limite de quando tende ao infinito:
Embora o limite seja zero, isso não garante a convergência da série, apenas que ela pode convergir. Portanto, o teste do termo geral é inconclusivo aqui.

Passo 6

Por fim, considerando que pelo Teste da Comparação já estabelecemos que a série diverge, concluímos que:

Resposta

A série é divergente.

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Obtenha os trê três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de e use os mesmos para aproximar .
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