Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Se der pra calcular a soma, também vamos fazer isso. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Para entender o comportamento dessa série, é útil simplificar ou comparar com uma série que a gente já conhece se comporta de certa forma.
Passo 3
Observando o termo
, podemos simplificar o numerador e o denominador dividindo ambos por
:
À medida que
cresce,
e
tendem a zero, então o termo se aproxima de
.
Passo 4
Agora, vamos comparar essa série com uma série p, que é da forma
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
.
No nosso caso, o termo aproximado é
, que é como uma série p com
(já que está no numerador). Como
, a série
diverge.
Passo 5
Para confirmar essa observação, podemos usar o Teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite:
Como o limite é infinito e não zero, segundo o Teste da divergência, a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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