Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para decidir se a série é convergente ou divergente. Se der pra calcular a soma, também vamos fazer isso. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Para entender o comportamento dessa série, é útil simplificar ou comparar com uma série que a gente já conhece se comporta de certa forma.

Passo 3

Observando o termo , podemos simplificar o numerador e o denominador dividindo ambos por :
À medida que cresce, e tendem a zero, então o termo se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos comparar essa série com uma série p, que é da forma . Sabemos que a série p converge se e diverge se .
No nosso caso, o termo aproximado é , que é como uma série p com (já que está no numerador). Como , a série diverge.

Passo 5

Para confirmar essa observação, podemos usar o Teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite:
Como o limite é infinito e não zero, segundo o Teste da divergência, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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