Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Vamos analisar a série , onde . Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente séries geométricas, já que a expressão envolve potências de . Para resolver, vamos verificar se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
Isso separa a série original em duas séries mais simples.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das séries separadamente.
  1. Primeira série: é uma série constante, onde cada termo é igual a . Uma série constante converge se o termo for zero, caso contrário, diverge. Como , mas não é necessariamente zero, essa série diverge.
  2. Segunda série: pode ser reescrita como . Isso é uma série geométrica, cuja soma é dada por , onde é o primeiro termo e é a razão.
    Aqui, e . Como , a série geométrica converge e sua soma é:

Passo 4

Voltando à série original, temos a soma de uma série que diverge e outra que converge. Quando somamos uma série divergente com uma série convergente, o resultado geral é que a série original diverge.

Resposta

A série é divergente.

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