Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty u(1+u^n),|u|<1

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=0^infty u(1+u^n), onde |u| < 1. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente séries geométricas, já que a expressão envolve potências de u. Para resolver, vamos verificar se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
sumn=0^infty u(1 + u^n) = sumn=0^infty u + sumn=0^infty u^n+1
Isso separa a série original em duas séries mais simples.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das séries separadamente.
  1. Primeira série: sumn=0^infty u é uma série constante, onde cada termo é igual a u. Uma série constante converge se o termo for zero, caso contrário, diverge. Como |u| < 1, mas u não é necessariamente zero, essa série diverge.
  2. Segunda série: sumn=0^infty u^n+1 pode ser reescrita como u sumn=0^infty u^n. Isso é uma série geométrica, cuja soma é dada por a1 - r, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
    Aqui, a = u e r = u. Como |u| < 1, a série geométrica converge e sua soma é:
    u cdot 11 - u = u1 - u

Passo 4

Voltando à série original, temos a soma de uma série que diverge e outra que converge. Quando somamos uma série divergente com uma série convergente, o resultado geral é que a série original diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty u(1 + u^n) é divergente.

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