Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Vamos analisar a série
, onde
. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente séries geométricas, já que a expressão envolve potências de
. Para resolver, vamos verificar se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
Isso separa a série original em duas séries mais simples.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das séries separadamente.
-
Primeira série:
é uma série constante, onde cada termo é igual a . Uma série constante converge se o termo for zero, caso contrário, diverge. Como , mas não é necessariamente zero, essa série diverge. -
Segunda série:
pode ser reescrita como . Isso é uma série geométrica, cuja soma é dada por , onde é o primeiro termo e é a razão. Aqui,e . Como , a série geométrica converge e sua soma é:
Passo 4
Voltando à série original, temos a soma de uma série que diverge e outra que converge. Quando somamos uma série divergente com uma série convergente, o resultado geral é que a série original diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.