Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita:
. O objetivo aqui é descobrir se essa série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também tenta calcular a soma dela. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e saber aplicar critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Agora, temos duas séries para analisar individualmente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira série:
. Essa é uma série geométrica onde cada termo é
vezes o termo anterior. A fórmula geral de uma série geométrica é
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 4
No nosso caso,
(porque quando
,
) e
. Para uma série geométrica convergir, a razão
precisa satisfazer
. No nosso caso,
, então essa série converge.
Passo 5
Como sabemos que a série geométrica converge, podemos calcular a soma usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a soma da primeira série é
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a segunda série:
. Essa também é uma série geométrica, onde cada termo é
vezes o termo anterior. Aqui,
(quando
,
) e
.
Passo 7
Para essa série, verificamos a razão
. Precisamos ter
para a série convergir. Mas aqui,
, o que significa que a série não converge. Portanto, essa segunda série é divergente.
Passo 8
Como uma das séries que compõem a série original é divergente, isso faz com que a série completa também seja divergente. Mesmo que a primeira série converja, a divergência da segunda domina o comportamento geral.
Resposta
A série
é divergente.
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