Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita: . O objetivo aqui é descobrir se essa série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também tenta calcular a soma dela. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e saber aplicar critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Agora, temos duas séries para analisar individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira série: . Essa é uma série geométrica onde cada termo é vezes o termo anterior. A fórmula geral de uma série geométrica é , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

No nosso caso, (porque quando , ) e . Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer . No nosso caso, , então essa série converge.

Passo 5

Como sabemos que a série geométrica converge, podemos calcular a soma usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a soma da primeira série é .

Passo 6

Agora, vamos analisar a segunda série: . Essa também é uma série geométrica, onde cada termo é vezes o termo anterior. Aqui, (quando , ) e .

Passo 7

Para essa série, verificamos a razão . Precisamos ter para a série convergir. Mas aqui, , o que significa que a série não converge. Portanto, essa segunda série é divergente.

Passo 8

Como uma das séries que compõem a série original é divergente, isso faz com que a série completa também seja divergente. Mesmo que a primeira série converja, a divergência da segunda domina o comportamento geral.

Resposta

A série é divergente.

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