Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Série Geométrica. Precisaremos entender como funciona uma série geométrica e verificar se ela atende aos critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão geral da série é . Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Observamos que alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar. Então, temos duas situações:
  • Se é par, , então .
  • Se é ímpar, , então .
Portanto, a série alterna entre termos e .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a série considerando essas duas situações:
  • Para par:
  • Para ímpar:
Então, a série original pode ser vista como quando é par e quando é ímpar.

Passo 5

Vamos focar na parte não nula da série, que é . Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 6

Identificamos que a nossa série geométrica tem:
  • Primeiro termo ( ) =
  • Razão ( ) =

Passo 7

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. No nosso caso, , então a série converge.

Passo 8

Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Isso confirma que a série não só converge, mas também sabemos o valor para o qual ela converge.

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Mostre que a séries harmônica alternada converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .
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