Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=1^infty 1+(-1)^n4^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty 1+(-1)^n4^2n é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Série Geométrica. Precisaremos entender como funciona uma série geométrica e verificar se ela atende aos critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão geral da série é 1 + (-1)^n4^2n. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Observamos que (-1)^n alterna entre 1 e -1 dependendo se n é par ou ímpar. Então, temos duas situações:
  • Se n é par, (-1)^n = 1, então 1 + 1 = 2.
  • Se n é ímpar, (-1)^n = -1, então 1 - 1 = 0.
Portanto, a série alterna entre termos 24^2n e 0.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a série considerando essas duas situações:
  • Para n par: 24^2n = 2(4^2)^n = 216^n
  • Para n ímpar: 04^2n = 0
Então, a série original pode ser vista como sumn=1^infty 216^n quando n é par e 0 quando n é ímpar.

Passo 5

Vamos focar na parte não nula da série, que é sumn=1^infty 216^n. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 6

Identificamos que a nossa série geométrica tem:
  • Primeiro termo ( a) = 216^1 = 216 = 18
  • Razão ( r) = 116

Passo 7

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. No nosso caso, |r| = 116 < 1, então a série converge.

Passo 8

Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r = 181 - 116 = 181516 = 18 times 1615 = 215
Isso confirma que a série não só converge, mas também sabemos o valor para o qual ela converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1+(-1)^n4^2n é convergente e sua soma é 215.

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