Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série
é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Série Geométrica. Precisaremos entender como funciona uma série geométrica e verificar se ela atende aos critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão geral da série é
. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Observamos que
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar. Então, temos duas situações:
- Se
é par, , então . - Se
é ímpar, , então .
Portanto, a série alterna entre termos
e
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a série considerando essas duas situações:
- Para
par: - Para
ímpar:
Então, a série original pode ser vista como
quando
é par e
quando
é ímpar.
Passo 5
Vamos focar na parte não nula da série, que é
. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 6
Identificamos que a nossa série geométrica tem:
- Primeiro termo (
) = - Razão (
) =
Passo 7
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1. No nosso caso,
, então a série converge.
Passo 8
Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Isso confirma que a série não só converge, mas também sabemos o valor para o qual ela converge.
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
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Mostre que a séries harmônica alternada
converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .
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