Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Então, galera, a gente vai resolver um exercício que pede para decidir se uma série é convergente ou divergente. A série que estamos analisando é a soma infinita de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como determinar se elas somam para um número específico ou se continuam sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos primeiros termos dessa série para entender o padrão. Vamos calcular alguns valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Percebe-se que os termos seguem o padrão:
Passo 3
Agora, vamos pensar no que isso significa para a série. Se somarmos esses termos sucessivamente, teremos:
- Soma após 1 termo:
- Soma após 2 termos:
- Soma após 3 termos:
- Soma após 4 termos:
- Soma após 5 termos:
- E assim por diante…
A soma está oscilando entre
e
, e não está se aproximando de um único número conforme adicionamos mais termos.
Passo 4
Para determinar se a série converge, podemos usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral
não for zero, a série é divergente. Vamos calcular esse limite:
No caso dessa série, o termo
não se aproxima de um único valor à medida que
cresce; ele continua alternando entre
,
,
, e
. Portanto, o limite não existe ou não é igual a zero.
Resposta
A série é divergente.
Exercícios relacionados
Mostre que a séries harmônica alternada
converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Obtenha o valor, usando séries geométricas:
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.