Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty cos (n pi2)

Passo 1

Então, galera, a gente vai resolver um exercício que pede para decidir se uma série é convergente ou divergente. A série que estamos analisando é a soma infinita de cos (n pi2), ou seja, sumn=0^infty cos (n pi2). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como determinar se elas somam para um número específico ou se continuam sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos primeiros termos dessa série para entender o padrão. Vamos calcular alguns valores de an = cos (n pi2):
  • Para n = 0: cos(0) = 1
  • Para n = 1: cos(pi2) = 0
  • Para n = 2: cos(pi) = -1
  • Para n = 3: cos(3pi2) = 0
  • Para n = 4: cos(2pi) = 1
  • E assim por diante…
Percebe-se que os termos seguem o padrão: 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, dots

Passo 3

Agora, vamos pensar no que isso significa para a série. Se somarmos esses termos sucessivamente, teremos:
  • Soma após 1 termo: 1
  • Soma após 2 termos: 1 + 0 = 1
  • Soma após 3 termos: 1 + 0 + (-1) = 0
  • Soma após 4 termos: 1 + 0 + (-1) + 0 = 0
  • Soma após 5 termos: 1 + 0 + (-1) + 0 + 1 = 1
  • E assim por diante…
A soma está oscilando entre 1 e 0, e não está se aproximando de um único número conforme adicionamos mais termos.

Passo 4

Para determinar se a série converge, podemos usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral an não for zero, a série é divergente. Vamos calcular esse limite:
limn to infty cos(n pi2)
No caso dessa série, o termo an não se aproxima de um único valor à medida que n cresce; ele continua alternando entre 1, 0, -1, e 0. Portanto, o limite não existe ou não é igual a zero.

Resposta

A série é divergente.

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