Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Então, galera, a gente vai resolver um exercício que pede para decidir se uma série é convergente ou divergente. A série que estamos analisando é a soma infinita de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como determinar se elas somam para um número específico ou se continuam sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos primeiros termos dessa série para entender o padrão. Vamos calcular alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Percebe-se que os termos seguem o padrão:

Passo 3

Agora, vamos pensar no que isso significa para a série. Se somarmos esses termos sucessivamente, teremos:
  • Soma após 1 termo:
  • Soma após 2 termos:
  • Soma após 3 termos:
  • Soma após 4 termos:
  • Soma após 5 termos:
  • E assim por diante…
A soma está oscilando entre e , e não está se aproximando de um único número conforme adicionamos mais termos.

Passo 4

Para determinar se a série converge, podemos usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral não for zero, a série é divergente. Vamos calcular esse limite:
No caso dessa série, o termo não se aproxima de um único valor à medida que cresce; ele continua alternando entre , , , e . Portanto, o limite não existe ou não é igual a zero.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Mostre que a séries harmônica alternada converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Obtenha o valor, usando séries geométricas:
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.