Obtenha o valor, usando séries geométricas: sumn=3^infty pi 12^2 n-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da soma infinita da série geométrica dada por:
sumn=3^infty pi (12)^2n-7
Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são somas com termos que têm uma razão constante entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos:
pi (12)^2n-7 = pi cdot (12)^2n cdot (12)^-7
Sabemos que pi cdot (12)^2n-7 = pi cdot 128 cdot (12)^2n = pi cdot 128 cdot (14)^n , então:

Passo 3

Agora, nossa série fica assim:
sumn=3^infty pi cdot 128 cdot (14)^n = pi cdot 128 cdot sumn=3^infty (14)^n
Vamos focar na soma . Essa é uma série geométrica infinita onde a razão e o primeiro termo .

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Substituindo os valores que temos:
S = 1641 - 14 = 16434 = 164 cdot 43 = 148

Passo 5

Agora, voltando à nossa série original:
pi cdot 128 cdot 148 = pi cdot 12848 = pi cdot 83 = 8pi3

Resposta

O valor da soma infinita é .

Exercícios relacionados