Obtenha o valor, usando séries geométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da soma infinita da série geométrica dada por:
Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são somas com termos que têm uma razão constante entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, nossa série fica assim:
Vamos focar na soma . Essa é uma série geométrica infinita onde a razão e o primeiro termo .

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, voltando à nossa série original:

Resposta

O valor da soma infinita é .

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Mostre que a séries harmônica alternada converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: