Mostre que a séries harmônica alternada converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre séries alternadas. O enunciado pede para mostrar que a série harmônica alternada converge e também para estimar o valor dessa soma com um erro máximo de 0,2. Para isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e como verificar se elas convergem usando o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma , onde é positivo, converge se:
  1. Os termos diminuem conforme aumenta, ou seja, .
  2. O limite dos termos é zero, ou seja, .
No nosso caso, . Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento dos Termos: para todo , então é uma sequência decrescente.
  2. Limite dos Termos: .
Como as duas condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 3

Agora, vamos estimar o valor da soma com um erro máximo de 0,2. A beleza das séries alternadas é que o erro ao aproximar a soma pela soma dos primeiros termos é no máximo o valor do próximo termo.
Ou seja, se somarmos os primeiros termos, o erro será no máximo .
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,2:
Resolvendo para :
Isso significa que somando os primeiros 4 termos da série, o erro será no máximo 0,2.

Resposta

A série converge e seu valor pode ser estimado somando os primeiros 4 termos, garantindo um erro máximo de 0,2.

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Obtenha o valor, usando séries geométricas: