Mostre que a séries harmônica alternada
converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre séries alternadas. O enunciado pede para mostrar que a série harmônica alternada
converge e também para estimar o valor dessa soma com um erro máximo de 0,2. Para isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e como verificar se elas convergem usando o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
, onde
é positivo, converge se:
- Os termos
diminuem conforme aumenta, ou seja, . - O limite dos termos é zero, ou seja,
.
No nosso caso,
. Vamos verificar as condições:
- Decrescimento dos Termos:
para todo , então é uma sequência decrescente. - Limite dos Termos:
.
Como as duas condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série
converge.
Passo 3
Agora, vamos estimar o valor da soma com um erro máximo de 0,2. A beleza das séries alternadas é que o erro ao aproximar a soma pela soma dos primeiros
termos é no máximo o valor do próximo termo.
Ou seja, se somarmos os primeiros
termos, o erro será no máximo
.
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,2:
Resolvendo para
:
Isso significa que somando os primeiros 4 termos da série, o erro será no máximo 0,2.
Resposta
A série
converge e seu valor pode ser estimado somando os primeiros 4 termos, garantindo um erro máximo de 0,2.
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