Mostre que a séries harmônica alternada sumn=1^infty (-1)^n+1n converge e estime o valor com erro máximo de 0,2 .

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre séries alternadas. O enunciado pede para mostrar que a série harmônica alternada sumn=1^infty (-1)^n+1n converge e também para estimar o valor dessa soma com um erro máximo de 0,2. Para isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e como verificar se elas convergem usando o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n+1 an, onde an é positivo, converge se:
  1. Os termos an diminuem conforme n aumenta, ou seja, an+1 <= an.
  2. O limite dos termos é zero, ou seja, limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = 1n. Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento dos Termos: 1n+1 <= 1n para todo n, então an é uma sequência decrescente.
  2. Limite dos Termos: limn to infty 1n = 0.
Como as duas condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série sumn=1^infty (-1)^n+1n converge.

Passo 3

Agora, vamos estimar o valor da soma com um erro máximo de 0,2. A beleza das séries alternadas é que o erro ao aproximar a soma pela soma dos primeiros N termos é no máximo o valor do próximo termo.
Ou seja, se somarmos os primeiros N termos, o erro será no máximo aN+1 = 1N+1.
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,2:
1N+1 <= 0,2
Resolvendo para N:
N+1 >= 10,2 implies N+1 >= 5 implies N >= 4
Isso significa que somando os primeiros 4 termos da série, o erro será no máximo 0,2.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1n converge e seu valor pode ser estimado somando os primeiros 4 termos, garantindo um erro máximo de 0,2.

Exercícios relacionados