Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado: temos que decidir se a série é convergente e, se possível, calcular sua soma. A matéria envolvida aqui é a análise de séries, especificamente a convergência de séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta o termo geral da série quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: . Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que o denominador nunca é maior que 1 em valor absoluto.
Passo 3
Como oscila entre -1 e 1, o valor absoluto de é no máximo 1. Portanto, . Assim, o valor absoluto do termo geral fica:
Passo 4
Agora, observamos que k cresce sem limite conforme k aumenta. Ou seja, quando k to infty, o termo k também tende ao infinito. Isso nos mostra que o termo geral ksin k não tende a zero.
Passo 5
Lembrando de uma regra básica sobre séries: se o limite do termo geral não é zero, a série diverge. Ou seja, para a série sumk=1^infty ak ser convergente, é necessário que limk to infty ak = 0. No nosso caso, limk to infty ksin k não é zero, na verdade, tende ao infinito.
Passo 6
Como o termo geral não tende a zero, concluímos que a série sumk=1^infty ksin knão converge. Portanto, não faz sentido tentar calcular sua soma.