Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que é uma soma de somas:
O conteúdo aqui envolve séries e convergência. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de somas e analisar se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na soma interna, aquela que está dentro das chaves:
Aqui, estamos somando para valores de que vão de 1 até . Podemos fatorar o porque ele não depende de :
Essa soma dentro das somas é conhecida como a série harmônica parcial, denotada por :

Passo 3

Sabemos que a série harmônica cresce de forma que:
onde é a constante de Euler-Mascheroni. Então, substituindo de volta na nossa expressão, temos:
Isso nos mostra que a soma interna cresce aproximadamente como para grandes valores de .

Passo 4

Agora, vamos olhar para a série original:
Podemos ver que cada termo da série cresce sem limite conforme aumenta, já que tende ao infinito quando vai para o infinito.

Passo 5

Lembrando que para uma série infinita convergir, os termos gerais devem tender a zero. Aqui, os termos estão aumentando sem parar, então a condição necessária para a convergência não é satisfeita.

Resposta

A série diverge.

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Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .
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e .
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.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: