Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que é uma soma de somas:
O conteúdo aqui envolve séries e convergência. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de somas e analisar se essa série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na soma interna, aquela que está dentro das chaves:
Aqui, estamos somando
para valores de
que vão de 1 até
. Podemos fatorar o
porque ele não depende de
:
Essa soma dentro das somas é conhecida como a série harmônica parcial, denotada por
:
Passo 3
Sabemos que a série harmônica cresce de forma que:
onde
é a constante de Euler-Mascheroni. Então, substituindo de volta na nossa expressão, temos:
Isso nos mostra que a soma interna cresce aproximadamente como
para grandes valores de
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a série original:
Podemos ver que cada termo da série cresce sem limite conforme
aumenta, já que
tende ao infinito quando
vai para o infinito.
Passo 5
Lembrando que para uma série infinita convergir, os termos gerais devem tender a zero. Aqui, os termos estão aumentando sem parar, então a condição necessária para a convergência não é satisfeita.
Resposta
A série
diverge.
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: