Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=1^infty(sumj=1^n nj)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que é uma soma de somas:
sumn=1^infty(sumj=1^n nj)
O conteúdo aqui envolve séries e convergência. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de somas e analisar se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na soma interna, aquela que está dentro das chaves:
sumj=1^n nj
Aqui, estamos somando nj para valores de j que vão de 1 até n. Podemos fatorar o n porque ele não depende de j:
n sumj=1^n 1j
Essa soma dentro das somas é conhecida como a série harmônica parcial, denotada por Hn:
Hn = sumj=1^n 1j

Passo 3

Sabemos que a série harmônica cresce de forma que:
Hn approx ln(n) + gamma
onde gamma é a constante de Euler-Mascheroni. Então, substituindo de volta na nossa expressão, temos:
n cdot Hn approx n (ln(n) + gamma) = n ln(n) + gamma n
Isso nos mostra que a soma interna cresce aproximadamente como n ln(n) para grandes valores de n.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a série original:
sumn=1^infty ( n ln(n) + gamma n )
Podemos ver que cada termo da série cresce sem limite conforme n aumenta, já que n ln(n) tende ao infinito quando n vai para o infinito.

Passo 5

Lembrando que para uma série infinita convergir, os termos gerais devem tender a zero. Aqui, os termos estão aumentando sem parar, então a condição necessária para a convergência não é satisfeita.

Resposta

A série sumn=1^infty(sumj=1^n nj) diverge.

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