Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar onde a função
é diferenciável. A função dada é:
Vamos precisar conhecer conceitos de diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar a continuidade e calcular as derivadas parciais para ver onde a função se comporta bem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para pontos onde
, a função
está bem definida e é composta por funções diferenciáveis (multiplicação e divisão de polinômios, desde que o denominador não seja zero). Como
nesses pontos, a função é diferenciável em todos esses pontos.
Passo 3
Agora, o ponto delicado é
. Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Primeiro, vamos checar a continuidade em
.
Para
ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Vamos calcular o limite:
Usando coordenadas polares, onde
e
, temos:
Esse limite depende de
, ou seja, diferentes caminhos dão diferentes valores. Portanto, o limite não existe e a função não é contínua em
.
Passo 4
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então já que a continuidade falha, não precisamos nem verificar as derivadas parciais.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do plano
menos no ponto
.
Exercícios relacionados
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Determine os pontos da curva interseção do elipsoide
com o plano
mais próximos da origem.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: