Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar onde a função é diferenciável. A função dada é:
Vamos precisar conhecer conceitos de diferenciabilidade de funções de várias variáveis, verificar a continuidade e calcular as derivadas parciais para ver onde a função se comporta bem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para pontos onde , a função está bem definida e é composta por funções diferenciáveis (multiplicação e divisão de polinômios, desde que o denominador não seja zero). Como nesses pontos, a função é diferenciável em todos esses pontos.

Passo 3

Agora, o ponto delicado é . Precisamos verificar se a função é diferenciável nesse ponto. Primeiro, vamos checar a continuidade em .
Para ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual a .
Vamos calcular o limite:
Usando coordenadas polares, onde e , temos:
Esse limite depende de , ou seja, diferentes caminhos dão diferentes valores. Portanto, o limite não existe e a função não é contínua em .

Passo 4

Como a função não é contínua em , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então já que a continuidade falha, não precisamos nem verificar as derivadas parciais.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano menos no ponto .

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.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Determine os pontos da curva interseção do elipsoide com o plano mais próximos da origem.
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