Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função sujeita à restrição . A matéria que vamos usar aqui é o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que serve exatamente para otimizar funções com restrições. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método dos Multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar um número tal que o gradiente da função que queremos otimizar ( ) seja igual ao gradiente da restrição ( ) multiplicado por . Formalmente, temos:
E também precisamos que a restrição seja satisfeita:

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das duas funções. Para :
Então, o gradiente de é:
Para a restrição :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, igualamos os gradientes multiplicados por :
E ainda temos a restrição:

Passo 5

Vamos simplificar as equações (1), (2) e (3):
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Comparando as equações (1a), (2a) e (3a), temos:
Se , podemos dividir todos por :
Isso nos dá relações entre , e :

Passo 6

Vamos expressar e em função de :
Agora substituímos e na restrição (4):
Calculando:
Somando os termos:
Então:

Passo 7

Com , podemos encontrar e :

Passo 8

Agora, substituímos , e na função :
Vamos somar os termos:
Calculando os denominadores:
Somando:
Então:

Resposta

O valor máximo da função sujeito à restrição é .

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .
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