Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
sujeita à restrição
. A matéria que vamos usar aqui é o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que serve exatamente para otimizar funções com restrições. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método dos Multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar um número
tal que o gradiente da função que queremos otimizar (
) seja igual ao gradiente da restrição (
) multiplicado por
. Formalmente, temos:
E também precisamos que a restrição seja satisfeita:
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das duas funções. Para
:
Então, o gradiente de
é:
Para a restrição
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, igualamos os gradientes multiplicados por
:
E ainda temos a restrição:
Passo 5
Vamos simplificar as equações (1), (2) e (3):
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Comparando as equações (1a), (2a) e (3a), temos:
Se
, podemos dividir todos por
:
Isso nos dá relações entre
,
e
:
Passo 6
Vamos expressar
e
em função de
:
Agora substituímos
e
na restrição (4):
Calculando:
Somando os termos:
Então:
Passo 7
Com
, podemos encontrar
e
:
Passo 8
Agora, substituímos
,
e
na função
:
Vamos somar os termos:
Calculando os denominadores:
Somando:
Então:
Resposta
O valor máximo da função
sujeito à restrição
é
.
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e
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