Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os extremos (máximos ou mínimos) da função sogando que elas satisfaçam a condição . Esse tipo de problema se chama de “extremos vinculados” e para resolver usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, precisamos encontrar onde a função a gente quer otimizar e a restrição se “tocam” de forma especial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela junta a nossa função com a restrição usando um multiplicador, que a gente chama de . A ideia é que, nas extremas, os gradientes da função e da restrição sejam paralelos. A função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualar cada uma a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos simplificar as equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:

Passo 5

Agora, sabemos que e . Vamos substituir esses na equação da restrição:

Passo 6

Com , temos:

Passo 7

Então, os pontos candidatos a extremos são:

Resposta

Os extremos da função sujeitos à condição ocorrem nos pontos , , e .

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Determine os pontos da curva interseção do elipsoide com o plano mais próximos da origem.