Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os extremos (máximos ou mínimos) da função
sogando que elas satisfaçam a condição
. Esse tipo de problema se chama de “extremos vinculados” e para resolver usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange. Basicamente, precisamos encontrar onde a função a gente quer otimizar e a restrição se “tocam” de forma especial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela junta a nossa função
com a restrição usando um multiplicador, que a gente chama de
. A ideia é que, nas extremas, os gradientes da função e da restrição sejam paralelos. A função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualar cada uma a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Vamos simplificar as equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Passo 5
Agora, sabemos que
e
. Vamos substituir esses na equação da restrição:
Passo 6
Com
, temos:
Passo 7
Então, os pontos candidatos a extremos são:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos à condição
ocorrem nos pontos
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.
Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Determine os pontos da curva interseção do elipsoide
com o plano
mais próximos da origem.