Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos a série infinita
e precisamos decidir se ela converge (isto é, se a soma chega a um número específico) ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência.
Passo 2
Vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Agora temos duas séries: uma com
e outra com
.
Passo 3
Primeiro, analisamos a série
. Essa é uma série harmônica multiplicada por 2. Sabemos que a série harmônica
não converge; na verdade, ela diverge para o infinito.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a série
. Essa é uma série que envolve termos oscilatórios (
). Usando o Teste de Dirichlet, sabemos que se os termos oscilam de forma limitada e a sequência de coeficientes decresce para zero, a série converge. Como
oscila entre -1 e 1 e
diminui para zero, essa série converge.
Passo 5
Mesmo que a segunda parte da série (
) convirja, a primeira parte (
) diverge. Quando somamos uma série divergente com uma convergente, o resultado geral dá uma série divergente.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Mostre que as igualdades são verdadeiras.
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Determine o jacobiano da transformação.:
c)
c)