Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos a série infinita e precisamos decidir se ela converge (isto é, se a soma chega a um número específico) ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência.

Passo 2

Vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Agora temos duas séries: uma com e outra com .

Passo 3

Primeiro, analisamos a série . Essa é uma série harmônica multiplicada por 2. Sabemos que a série harmônica não converge; na verdade, ela diverge para o infinito.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a série . Essa é uma série que envolve termos oscilatórios ( ). Usando o Teste de Dirichlet, sabemos que se os termos oscilam de forma limitada e a sequência de coeficientes decresce para zero, a série converge. Como oscila entre -1 e 1 e diminui para zero, essa série converge.

Passo 5

Mesmo que a segunda parte da série ( ) convirja, a primeira parte ( ) diverge. Quando somamos uma série divergente com uma convergente, o resultado geral dá uma série divergente.

Resposta

A série diverge.

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Mostre que as igualdades são verdadeiras.
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas:
a)
b)
c)
Determine o jacobiano da transformação.:
c)