Sejam
. Mostre que
a)
, com
, é solução da equação
.
a)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
. A tarefa é mostrar que a função
, onde
, realmente resolve essa equação. Basicamente, precisamos verificar se, ao substituir
e sua derivada na equação, ela se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Se
, então a derivada
é:
Aqui, usamos a regra de derivação da função exponencial, onde a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original
:
Passo 4
Fatorando
na expressão:
Sabemos que
nunca é zero, então para que a equação seja igual a zero, o que está dentro dos parênteses deve ser zero:
Isso exatamente é o que foi dado no enunciado.
Resposta
Portanto, com
, a função
satisfaz a equação diferencial
.