Sejam a, b, c pertencem a R. Mostre que
a) y = e^(r t), com a*r + b = 0, é solução da equação a y' + b y = 0.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . A tarefa é mostrar que a função , onde , realmente resolve essa equação. Basicamente, precisamos verificar se, ao substituir e sua derivada na equação, ela se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Se , então a derivada é:
Aqui, usamos a regra de derivação da função exponencial, onde a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original :

Passo 4

Fatorando na expressão:
Sabemos que nunca é zero, então para que a equação seja igual a zero, o que está dentro dos parênteses deve ser zero:
Isso exatamente é o que foi dado no enunciado.

Resposta

Portanto, com , a função satisfaz a equação diferencial .

Exercícios relacionados