Determine os extremos da função no quadrado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função dentro do quadrado . Isso envolve entender onde a função atinge seus maiores e menores valores dentro desse quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do quadrado. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois igualá-las a zero. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Da equação (2), podemos isolar :
Substituímos na equação (1):

Passo 6

Para resolver , elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, as soluções são ou .

Passo 7

Resolvendo :
Então, temos dois valores de : e .

Passo 8

Agora, encontramos os correspondentes valores de :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 9

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os extremos nas bordas do quadrado . Isso significa analisar as funções quando , , e .

Passo 10

Vamos avaliar nos pontos críticos e nas bordas:
  • Ponto (0, 0):
  • Ponto :

Passo 11

Agora, avaliamos nas bordas:
  • Para , a função vira . No intervalo , o mínimo é 0 e o máximo é 1.
  • Para , a função vira . Derivando em relação a e igualando a zero:
Então, .
  • Para , a função vira . No intervalo , o mínimo é 0 e o máximo é 8.
  • Para , a função vira . Derivando em relação a e igualando a zero:
Calculando :

Passo 12

Resumindo os valores encontrados:
  • Pontos críticos internos:
    • :
    • :
  • Bordas:
    • : mínimo 0, máximo 1
    • : máximo 6
    • : mínimo 0, máximo 8
    • : mínimo aproximadamente 0,2929, máximo 8 quando

Resposta

Dentro do quadrado , a função apresenta:
  • Máximo absoluto em com valor .
  • Mínimo absoluto em com valor .

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(11)
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.