Determine os extremos da função
no quadrado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
dentro do quadrado
. Isso envolve entender onde a função atinge seus maiores e menores valores dentro desse quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do quadrado. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois igualá-las a zero. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Da equação (2), podemos isolar
:
Substituímos
na equação (1):
Passo 6
Para resolver
, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, as soluções são
ou
.
Passo 7
Resolvendo
:
Então, temos dois valores de
:
e
.
Passo 8
Agora, encontramos os correspondentes valores de
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 9
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os extremos nas bordas do quadrado
. Isso significa analisar as funções quando
,
,
e
.
Passo 10
Vamos avaliar
nos pontos críticos e nas bordas:
- Ponto (0, 0):
- Ponto
:
Passo 11
Agora, avaliamos nas bordas:
- Para
, a função vira . No intervalo , o mínimo é 0 e o máximo é 1. - Para
, a função vira . Derivando em relação a e igualando a zero:
Então,
.
- Para
, a função vira . No intervalo , o mínimo é 0 e o máximo é 8. - Para
, a função vira . Derivando em relação a e igualando a zero:
Calculando
:
Passo 12
Resumindo os valores encontrados:
- Pontos críticos internos:
-
: -
:
-
- Bordas:
-
: mínimo 0, máximo 1 -
: máximo 6 -
: mínimo 0, máximo 8 -
: mínimo aproximadamente 0,2929, máximo 8 quando
-
Resposta
Dentro do quadrado
, a função
apresenta:
- Máximo absoluto em
com valor . - Mínimo absoluto em
com valor .
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(11)
(11)
Determine a distância da origem à curva
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
para
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.