Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O enunciado nos pede para maximizar a função
sujeita à restrição
, onde
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Lagrange para encontrar os pontos de máximo considerando a restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que vamos combinar a função que queremos maximizar (
) com a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de
. A função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável (
) e ao multiplicador
. Essas derivadas devem ser iguais a zero no ponto de máximo.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos tentar achar relações entre essas equações. Começando pela primeira equação:
De forma semelhante, das segundas e terceiras equações:
Passo 5
Como todas as expressões para
são iguais, podemos igualá-las entre si:
Vamos supor que
. Essa suposição simplifica nosso trabalho e, muitas vezes, é válida em problemas de simetria.
Passo 6
Assumindo que
, substituímos na restrição:
Resolvendo para
:
Como
, descartamos a solução negativa.
Passo 7
Então, temos:
Agora, substituímos esses valores na função
:
Resposta
O valor máximo de
é
quando
.
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Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.