Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange. O enunciado nos pede para maximizar a função sujeita à restrição , onde . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Lagrange para encontrar os pontos de máximo considerando a restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que vamos combinar a função que queremos maximizar ( ) com a restrição usando um multiplicador, que geralmente chamamos de . A função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável ( ) e ao multiplicador . Essas derivadas devem ser iguais a zero no ponto de máximo.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos tentar achar relações entre essas equações. Começando pela primeira equação:
De forma semelhante, das segundas e terceiras equações:

Passo 5

Como todas as expressões para são iguais, podemos igualá-las entre si:
Vamos supor que . Essa suposição simplifica nosso trabalho e, muitas vezes, é válida em problemas de simetria.

Passo 6

Assumindo que , substituímos na restrição:
Resolvendo para :
Como , descartamos a solução negativa.

Passo 7

Então, temos:
Agora, substituímos esses valores na função :

Resposta

O valor máximo de é quando .

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Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
e .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.