Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=1^infty 1raizn+1+raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série sumn=1^infty 1raizn+1+raizn converge ou não. Estamos lidando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar termos e analisar o comportamento da soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo da série: 1raizn+1+raizn. Pra facilitar, podemos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é raizn+1 - raizn.
Então, temos:
1raizn+1+raizn times raizn+1-raiznraizn+1-raizn = raizn+1-raizn(raizn+1)^2 - (raizn)^2

Passo 3

Agora, calculamos o denominador:
(raizn+1)^2 - (raizn)^2 = (n+1) - n = 1
Então, a expressão simplifica para:
raizn+1-raizn1 = raizn+1 - raizn

Passo 4

Agora, nossa série original fica:
sumn=1^infty (raizn+1 - raizn)
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somados.

Passo 5

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
(raiz2 - raiz1) + (raiz3 - raiz2) + (raiz4 - raiz3) + dots + (raizn+1 - raizn)
Observamos que raiz2 cancela com -raiz2, raiz3 com -raiz3, e assim por diante. No final, fica:
raizn+1 - raiz1

Passo 6

Para determinar a soma da série até o infinito, analisamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty (raizn+1 - 1)
Sabemos que raizn+1 cresce sem limites quando n vai para o infinito, então:
limn to infty (raizn+1 - 1) = infty

Resposta

A série sumn=1^infty 1raizn+1+raizn não é convergente; ela diverge para infinito.

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