Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série converge ou não. Estamos lidando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar termos e analisar o comportamento da soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo da série: . Pra facilitar, podemos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, calculamos o denominador:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, nossa série original fica:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somados.

Passo 5

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que cancela com , com , e assim por diante. No final, fica:

Passo 6

Para determinar a soma da série até o infinito, analisamos o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que cresce sem limites quando vai para o infinito, então:

Resposta

A série não é convergente; ela diverge para infinito.

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7.