Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série
converge ou não. Estamos lidando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar termos e analisar o comportamento da soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo da série:
. Pra facilitar, podemos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, calculamos o denominador:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, nossa série original fica:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somados.
Passo 5
Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que
cancela com
,
com
, e assim por diante. No final, fica:
Passo 6
Para determinar a soma da série até o infinito, analisamos o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce sem limites quando
vai para o infinito, então:
Resposta
A série
não é convergente; ela diverge para infinito.
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(a)
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(b)
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7.
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