Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o hodógrafo da função vetorial . Vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com a derivada de uma função vetorial para encontrar a velocidade e, a partir disso, esboçar o hodógrafo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico da velocidade de uma partícula em função do tempo. Para encontrá-lo, vamos calcular a velocidade , que é a derivada da posição em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente da função vetorial . A derivada da primeira componente, que é 3, em relação a é zero, porque a derivada de uma constante é zero. A derivada da segunda componente, , em relação a é .
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade , podemos esboçar o hodógrafo. O hodógrafo é um gráfico que mostra como a velocidade muda com o tempo. Nesse caso, a componente x da velocidade é sempre zero, e a componente y aumenta linearmente com .

Passo 5

Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar a componente y da velocidade em função do tempo . Como , isso significa que a velocidade está sempre direcionada para cima no eixo y, e sua magnitude aumenta à medida que aumenta.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma linha vertical no plano de velocidade, onde a componente x é sempre zero e a componente y aumenta linearmente com o tempo, representada por .

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
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7.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: