Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o hodógrafo da função vetorial
. Vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com a derivada de uma função vetorial para encontrar a velocidade e, a partir disso, esboçar o hodógrafo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico da velocidade de uma partícula em função do tempo. Para encontrá-lo, vamos calcular a velocidade
, que é a derivada da posição
em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente da função vetorial
. A derivada da primeira componente, que é 3, em relação a
é zero, porque a derivada de uma constante é zero. A derivada da segunda componente,
, em relação a
é
.
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade
, podemos esboçar o hodógrafo. O hodógrafo é um gráfico que mostra como a velocidade muda com o tempo. Nesse caso, a componente x da velocidade é sempre zero, e a componente y aumenta linearmente com
.
Passo 5
Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar a componente y da velocidade em função do tempo
. Como
, isso significa que a velocidade está sempre direcionada para cima no eixo y, e sua magnitude aumenta à medida que
aumenta.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma linha vertical no plano de velocidade, onde a componente x é sempre zero e a componente y aumenta linearmente com o tempo, representada por
.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma:
Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
7.
7.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: