Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
para
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série
converge ou não, e se convergir, calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos consecutivos. A série converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
, e a soma dela é dada por
.
Passo 3
Comparando a nossa série
com a forma da série geométrica, vemos que
(quando
,
) e
. Então, temos uma série geométrica onde a razão é
.
Passo 4
Para garantir que a série converja, precisamos verificar se
. Sabemos que para qualquer
, o seno está no intervalo
, então
estará entre
e
, ou seja,
. Portanto, a condição para a convergência da série está satisfeita.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da série geométrica:
. Substituindo os valores que identificamos:
Passo 6
Podemos simplificar isso ainda mais lembrando da identidade trigonométrica
. Então, a soma fica:
Resposta
A série
é convergente para
e sua soma é
.