Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma. sumn=0^infty sin ^2 n x para |x|

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente decidir se a série sumn=0^infty sin^2n x converge ou não, e se convergir, calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos consecutivos. A série converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1, e a soma dela é dada por a1 - r.

Passo 3

Comparando a nossa série sumn=0^infty sin^2n x com a forma da série geométrica, vemos que a = 1 (quando n=0, sin^0x = 1) e r = sin^2 x. Então, temos uma série geométrica onde a razão é r = sin^2 x.

Passo 4

Para garantir que a série converja, precisamos verificar se |r| < 1. Sabemos que para qualquer x, o seno está no intervalo [-1, 1], então sin^2 x estará entre 0 e 1, ou seja, 0 <= sin^2 x < 1. Portanto, a condição para a convergência da série está satisfeita.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da série geométrica: a1 - r. Substituindo os valores que identificamos:
Soma = 11 - sin^2 x

Passo 6

Podemos simplificar isso ainda mais lembrando da identidade trigonométrica cos^2 x = 1 - sin^2 x. Então, a soma fica:
Soma = 1cos^2 x = sec^2 x

Resposta

A série sumn=0^infty sin^2n x é convergente para |x| < pi2 e sua soma é sec^2 x.

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