lim x (pi / 2)^+ 1x sec x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de pela direita da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites de funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar entender o comportamento da função perto de e como isso afeta o limite da expressão completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Ou seja, . Isso significa que a nossa função pode ser reescrita como .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de pela direita. Sabemos que . Mas como está se aproximando de pela direita, ou seja, valores um pouco maiores que , o cosseno vai ficar negativo e se aproximando de zero. Portanto, tende a 0 pelo lado negativo.

Passo 4

Com se aproximando de 0 pelo lado negativo, ( ) vai se aproximar de , porque estamos dividindo 1 por um número que está ficando cada vez menor em valor absoluto, mas negativo.

Passo 5

Agora, vamos analisar o . Quando se aproxima de pela direita, está se aproximando de um valor finito positivo ( ). Portanto, vai se aproximar de que é um número positivo e finito.

Passo 6

Multiplicando as duas partes, temos . Como está se aproximando de um número positivo e finito ( ) e está se aproximando de , o resultado final vai ser .

Resposta

O limite é .

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