Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento de
e
interage conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando
se aproxima de 0 a partir da direita (
):
-
tende a 0, já que qualquer número positivo ao quadrado diminui para 0 conforme diminui. -
tende a , porque o logaritmo de números próximos a 0 é muito negativo.
Então, temos uma situação onde multiplicamos 0 por
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos reescrever
como uma fração:
Agora, o limite fica:
Quando
se aproxima de 0,
vai para
e
vai para
, então temos uma forma
, que ainda é indeterminada. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites de formas indeterminadas como
ou
.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite fica:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão:
Ao calcular o limite quando
, temos:
Resposta
O limite
é igual a 0.