lim x 0^+ x^2 ln x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites envolvendo funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento de e interage conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando se aproxima de 0 a partir da direita ( ):
  • tende a 0, já que qualquer número positivo ao quadrado diminui para 0 conforme diminui.
  • tende a , porque o logaritmo de números próximos a 0 é muito negativo.
Então, temos uma situação onde multiplicamos 0 por , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos reescrever x^2 ln x = ln xx^-2 como uma fração:
limx 0^+ ln xx^-2
Agora, o limite fica:
Quando se aproxima de 0, vai para e vai para , então temos uma forma , que ainda é indeterminada. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites de formas indeterminadas como ou .

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada de limx 0^+ 1x-2x^-3 = limx 0^+ 1x cdot -x^32 = limx 0^+ -x^22 em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite fica:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:
-x^22
Ao calcular o limite quando limx 0^+ -x^22 = -02 = 0 , temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

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