Reparametrize a curva relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto na direção crescente de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reparametrizar uma curva em relação ao comprimento de arco, começando do ponto e aumentando o valor de .
Para isso, vamos precisar entender o que é reparametrização por comprimento de arco, calcular o comprimento de arco da curva a partir do ponto dado e, finalmente, expressar a curva em termos desse comprimento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é reparametrização por comprimento de arco. Basicamente, queremos expressar a curva não mais em função de , mas em função do comprimento percorrido ao longo da curva, que geralmente chamamos de .
Para fazer isso, precisamos encontrar uma relação entre e . Isso envolve calcular o comprimento de arco desde até um valor geral .

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de arco . A fórmula para é:
Onde é a derivada da curva em relação a , e é o módulo dessa derivada.
Como queremos medir a partir do ponto , vamos encontrar o valor de que corresponde a esse ponto para usar como .

Passo 4

Vamos achar tal que .
Da primeira equação, . Vamos verificar as outras:
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos :
Agora, calculamos o módulo dessa derivada:

Passo 6

Vamos simplificar :
Calculando os quadrados:
Somando tudo:
Então:

Passo 7

Agora, calculamos o comprimento de arco desde :

Passo 8

Queremos expressar em função de . Vamos resolver a equação para :

Passo 9

Agora, substituímos na expressão original da curva por :
Sabendo que , simplificamos:

Resposta

A reparametrização da curva em relação ao comprimento de arco é:

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Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Existe uma função tal que para todo ?
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.