Existe uma função tal que para todo ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar se existe uma função que satisfaz três condições:
  1. para todo
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas condições implica e verificar se todas podem ser verdade simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a terceira condição: para todo . Isso significa que, não importa qual valor escolhemos para , o valor da função nunca pode ser maior que 2. Em termos simples, todos os valores da função estão limitados a no máximo 2.

Passo 3

Agora, vamos considerar a segunda condição: . Isso nos diz que quando , o valor da função é 4. Ou seja, há um ponto específico onde é igual a 4.

Passo 4

Aqui está o problema: a condição para todo não permite que seja maior que 2 em nenhum ponto. Mas, de acordo com a segunda condição, , que claramente é maior que 2.

Resposta

Não, não existe uma função que satisfaça todas as condições mencionadas.

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