Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma série para analisar: . O que a gente precisa aqui é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência, como o teste da comparação e o teste da série .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão . Sabemos que, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Ou seja, quando cresce, fica bem pequeno, então podemos aproximar .

Passo 3

Com essa aproximação, nossa série fica aproximadamente:
A série é uma série com .

Passo 4

Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, como , a série converge.

Passo 5

Agora, voltando à nossa série original , vimos que ela é comparável a uma série que sabemos que converge. Além disso, como para todos os , podemos usar o teste da comparação direta para afirmar que nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

a)
Prove que: Se , para todo , e , então .
Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas: .
Prove que: se, e somente se, .