Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma série para analisar: . O que a gente precisa aqui é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência, como o teste da comparação e o teste da série
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão . Sabemos que, para valores pequenos de
, é aproximadamente igual a
. Ou seja, quando
cresce,
fica bem pequeno, então podemos aproximar .
Passo 3
Com essa aproximação, nossa série fica aproximadamente:
A série
é uma série
com
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso, como
, a série
converge.
Passo 5
Agora, voltando à nossa série original , vimos que ela é comparável a uma série que sabemos que converge. Além disso, como para todos os
, podemos usar o teste da comparação direta para afirmar que nossa série também converge.
Resposta
A série converge.
Exercícios relacionados
a)
Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas:
.
Prove que:
se, e somente se,
.