Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma sequência
que é sempre negativa (
) para todo número natural
. Além disso, essa sequência converge para zero (
). Nosso objetivo é mostrar que o inverso dessa sequência (
) diverge para menos infinito (
).
Passo 2
Como
converge para zero, isso significa que, à medida que
aumenta, os valores de
ficam cada vez mais próximos de zero, mas sempre negativos. Em termos matemáticos, para qualquer número pequeno positivo
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos
, ou seja,
.
Passo 3
Como
, podemos escrever
. Então,
. Nosso objetivo agora é analisar o comportamento de
à medida que
se aproxima de zero.
Passo 4
Sabemos que quando uma sequência de números positivos
se aproxima de zero, o inverso
cresce sem limite, ou seja, tende para
. Portanto,
à medida que
.
Passo 5
Voltando à nossa expressão original, temos
. Já que
, multiplicar por
faz com que
tenda para
.
Resposta
Portanto, se
para todo
e
, então
.
Exercícios relacionados
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se
e
são convergentes, então
converge.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
a)
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.