Prove que: Se , para todo , e , então .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma sequência que é sempre negativa ( ) para todo número natural . Além disso, essa sequência converge para zero ( ). Nosso objetivo é mostrar que o inverso dessa sequência ( ) diverge para menos infinito ( ).

Passo 2

Como converge para zero, isso significa que, à medida que aumenta, os valores de ficam cada vez mais próximos de zero, mas sempre negativos. Em termos matemáticos, para qualquer número pequeno positivo , existe um número natural tal que, para todo , temos , ou seja, .

Passo 3

Como , podemos escrever . Então, . Nosso objetivo agora é analisar o comportamento de à medida que se aproxima de zero.

Passo 4

Sabemos que quando uma sequência de números positivos se aproxima de zero, o inverso cresce sem limite, ou seja, tende para . Portanto, à medida que .

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, temos . Já que , multiplicar por faz com que tenda para .

Resposta

Portanto, se para todo e , então .

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Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se e são convergentes, então converge.
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
a)
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .