a)

Passo 1

Vamos resolver a soma infinita . Esse exercício envolve séries geométricas, que são somas de termos que formam uma sequência geométrica. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes:

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo da soma:

Passo 4

Reconhecemos que ambas as somas são séries geométricas da forma , onde é a razão da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:

Passo 5

Aplicamos a fórmula a cada série:
Para a primeira série, :
Para a segunda série, :

Passo 6

Somamos os resultados das duas séries:

Resposta

A soma infinita é igual a .

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Prove que: Se , para todo , e , então .
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se e são convergentes, então converge.
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