a) sumk=0^+infty 2^k+5^k7^k=4910

Passo 1

Vamos resolver a soma infinita sumk=0^+infty 2^k+5^k7^k=4910. Esse exercício envolve séries geométricas, que são somas de termos que formam uma sequência geométrica. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes:
sumk=0^+infty 2^k+5^k7^k = sumk=0^+infty 2^k7^k + sumk=0^+infty 5^k7^k

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo da soma:
sumk=0^+infty (27)^k + sumk=0^+infty (57)^k

Passo 4

Reconhecemos que ambas as somas são séries geométricas da forma sumk=0^+infty r^k, onde r é a razão da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
sumk=0^+infty r^k = 11 - r, para |r| < 1

Passo 5

Aplicamos a fórmula a cada série:
Para a primeira série, r = 27:
sumk=0^+infty (27)^k = 11 - 27 = 157 = 75
Para a segunda série, r = 57:
sumk=0^+infty (57)^k = 11 - 57 = 127 = 72

Passo 6

Somamos os resultados das duas séries:
75 + 72 = 1410 + 3510 = 4910

Resposta

A soma infinita sumk=0^+infty 2^k+5^k7^k é igual a 4910.

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