a)
Passo 1
Vamos resolver a soma infinita
. Esse exercício envolve séries geométricas, que são somas de termos que formam uma sequência geométrica. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma em duas partes:
Passo 3
Agora, simplificamos cada termo da soma:
Passo 4
Reconhecemos que ambas as somas são séries geométricas da forma
, onde
é a razão da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Passo 5
Aplicamos a fórmula a cada série:
Para a primeira série,
:
Para a segunda série,
:
Passo 6
Somamos os resultados das duas séries:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.
Exercícios relacionados
Prove que: Se
, para todo
, e
, então
.
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (d) Se
e
são convergentes, então
converge.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas:
.