Prove que: se, e somente se, .

Passo 1

Beleza! A questão pede para provar que uma sequência tende a se, e somente se, a sequência tende a . Vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação de desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, para qualquer número grande , existe um índice tal que para todo , . Basicamente, os termos da sequência ficam maiores que qualquer número escolhido à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que se , então . Para isso, vamos manipular a definição.

Passo 4

Assumindo que , para qualquer , existe um tal que para todo , .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por (lembrando que isso inverte a desigualdade), temos:

Passo 6

Isso significa que é menor que qualquer número negativo escolhido. Portanto, .

Passo 7

Agora, para provar o contrário: se , queremos mostrar que .

Passo 8

Assumindo que , para qualquer , existe um tal que para todo , .

Passo 9

Multiplicando novamente por , obtemos:
Isso mostra que é maior que qualquer número positivo escolhido, ou seja, .

Resposta

Portanto, provamos que se, e somente se, .

Exercícios relacionados

Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Prove que: Se e , então .
Mostre que: .