Prove que:
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza! A questão pede para provar que uma sequência
tende a
se, e somente se, a sequência
tende a
. Vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação de desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, para qualquer número grande
, existe um índice
tal que para todo
,
. Basicamente, os termos da sequência ficam maiores que qualquer número escolhido à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que se
, então
. Para isso, vamos manipular a definição.
Passo 4
Assumindo que
, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por
(lembrando que isso inverte a desigualdade), temos:
Passo 6
Isso significa que
é menor que qualquer número negativo
escolhido. Portanto,
.
Passo 7
Agora, para provar o contrário: se
, queremos mostrar que
.
Passo 8
Assumindo que
, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 9
Multiplicando novamente por
, obtemos:
Isso mostra que
é maior que qualquer número positivo
escolhido, ou seja,
.
Resposta
Portanto, provamos que
se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Prove que: Se
e
, então
.
Mostre que:
.