Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso desafio é descobrir se essa sequência é monótona (ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e se ela é limitada (ou seja, se existe um valor máximo e mínimo que ela nunca ultrapassa). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências alternadas e como analisar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência está fazendo. A expressão significa que os termos da soma alternam entre positivo e negativo. Por exemplo, quando , temos ; quando , ; e assim por diante. Então, a sequência é a soma desses termos até o -ésimo termo.

Passo 3

Para verificar se a sequência é monótona, vamos ver se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo à medida que aumenta. Observando os primeiros termos:
Vemos que a sequência está alternando entre diminuir e aumentar. Portanto, ela não é monótona.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa, tanto acima quanto abaixo. Nesse caso, a sequência é uma série alternada conhecida, chamada série harmônica alternada. Sabemos, pela prova do teste da série alternada, que ela converge para um valor específico. Isso significa que ela está se aproximando de um valor limite e, portanto, está limitada.
Além disso, observando os termos da sequência, percebemos que ela nunca fica abaixo de e não ultrapassa nas oscilações. Assim, podemos dizer que a sequência está limitada entre esses valores.

Resposta

A sequência não é monótona, pois alterna entre aumentos e diminuições. Entretanto, ela é limitada, estando sempre entre e .

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
a)
Prove que: se, e somente se, .
Prove que: Se e , então .