Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumk=0^+infty k2 k^3-k+1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência que usamos para determiná-la.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . Olhando para os termos dessa fração, percebemos que no numerador temos (que é ) e no denominador temos (onde o termo de maior grau é ). Para entender o comportamento da série, é útil simplificar esse termo para valores grandes de .

Passo 3

Quando k2k^3 = 12k^2 fica bem grande, os termos de menor grau (como e ) no denominador se tornam menos importantes. Então, podemos aproximar a expressão por:
Isso nos dá uma ideia de como os termos da nossa série se comportam para grande.

Passo 4

Agora, vamos comparar essa série com uma série p conhecida. Uma série p tem a forma e sabemos que ela converge se e diverge se .
No nosso caso, a série comparativa é , onde . Como , essa série converge.

Passo 5

Para confirmar a convergência da nossa série original, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se ak = k2k^3 - k + 1 e bk = 1k^2 para todo grande o suficiente e converge, então também converge.
No nosso caso, temos:
Para grande, é aproximadamente igual a , então para suficientemente grande. Como converge, então também converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

Exercícios relacionados

Simplifique as seguintes expressões:
sec(θ) - sec(θ) * sen²(θ)
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty 1(ln n)^n.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty pi^nraizn.
Resolva as seguintes equações:
2 sen(theta) - 1 = 0