Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa decidir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e os testes de convergência que usamos para determiná-la.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. Olhando para os termos dessa fração, percebemos que no numerador temos
(que é
) e no denominador temos
(onde o termo de maior grau é
). Para entender o comportamento da série, é útil simplificar esse termo para valores grandes de
.
Passo 3
Quando
fica bem grande, os termos de menor grau (como
e
) no denominador se tornam menos importantes. Então, podemos aproximar a expressão por:
Isso nos dá uma ideia de como os termos da nossa série se comportam para
grande.
Passo 4
Agora, vamos comparar essa série com uma série p conhecida. Uma série p tem a forma
e sabemos que ela converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a série comparativa é
, onde
. Como
, essa série converge.
Passo 5
Para confirmar a convergência da nossa série original, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se
para todo
grande o suficiente e
converge, então
também converge.
No nosso caso, temos:
Para
grande,
é aproximadamente igual a
, então
para
suficientemente grande. Como
converge, então
também converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.
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Simplifique as seguintes expressões:
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
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Resolva as seguintes equações: